Il prodotto vettoriale è un’operazione matematica che permette di ottenere un nuovo vettore a partire da due vettori dati. Tale prodotto viene anche chiamato prodotto esterno o prodotto croce.
Per calcolare il prodotto vettoriale tra due vettori A e B, si procede nel modo seguente:
1. Si scrivono i due vettori in forma di coordinate cartesiane, cioè A=(Ax,Ay,Az) e B=(Bx,By,Bz).
2. Si scrive la seguente matrice 3×3:
\begin{bmatrix}
i &j&k\\
Ax & Ay & Az\\
Bx & By & Bz
\end{bmatrix}
dove i,j,k sono i versori delle tre coordinate cartesiane e Ax,Ay,Az, Bx,By,Bz sono i coefficienti dei due vettori.
3. Si calcola il determinante della matrice 3×3 e si scrive il risultato come nuovo vettore, cioè:
A x B = det\begin{bmatrix}i&j&k\\Ax&Ay&Az\\Bx&By&Bz\end{bmatrix} = (Ay*Bz-Az*By)i – (Ax*Bz-Az*Bx)j + (Ax*By-Ay*Bx)k
Il prodotto vettoriale ha alcune proprietà interessanti, tra cui:
– Non è commutativo, cioè A x B ≠ B x A.
– Il modulo del prodotto vettoriale è dato dal prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il seno dell’angolo compreso tra di essi: |A x B| = |A| * |B| * sin(θ).
– Se i due vettori sono paralleli, il prodotto vettoriale è nullo: A x B = 0.
– Il prodotto vettoriale è perpendicolare ai due vettori dati: A x B è perpendicolare sia ad A che a B.
L’utilizzo del prodotto vettoriale è molto comune nella fisica e nell’ingegneria, ad esempio per il calcolo delle forze di interazione tra particelle magnetiche o per il calcolo delle forze di attrito nei motori. Inoltre, il prodotto vettoriale viene anche utilizzato per la definizione della regola della mano destra, che permette di stabilire l’orientamento di un vettore rispetto ad un asse di riferimento.